Erfolgreich investieren mit Fraktalen

Die fraktale Finanztheorie ist verhältnismässig jung. Was sie ausmacht und wie Sie ihre mathematischen Methoden an der Börse nutzen können, erfahren Sie im folgenden Moneyland-Beitrag.

Um Risiken, Produkte und Anlagestrategien einzuschätzen, benutzt die Finanzindustrie weiterhin viele alte Modelle. Besonders prominent ist die auf Markowitz zurückgehende Moderne Portfoliotheorie (MPT) und die auf ihr basierenden Theorien und Modelle wie die Arbitragetheorie, das Capital-Asset Pricing-Modell (CAPM) und Single-Index-Modell (SIM).

Die vorherrschenden Modelle werden aber regelmässig hinterfragt, besonders heftig nach grösseren Turbulenzen an den Börsen. Die globale Finanzkrise ab 2008 war ein solches Ereignis, welches viele Marktteilnehmer auf dem falschen Fuss erwischt hat. Aber auch viele kleinere Marktereignisse wie etwa der Schweizer Frankenschock vom 15. Januar 2015 zeigen die Grenzen von althergebrachten Finanzmodellen auf.

Einer der prominentesten Kritiker der Modernen Portfoliotheorie und verwandter «Standard-Modelle» war der grosse Mathematiker Benoît Mandelbrot (1924-2010). Als Begründer der fraktalen Geometrie interessierte er sich auch für Phänomene ausserhalb der Mathematik, welche er mit seinen neuen Instrumenten interpretierte. Viel Zeit widmete er etwa der Analyse von Finanzmärkten.

Kritik an den Standardmodellen

Mandelbrot kritisiert nicht die Mathematik der finanztheoretischen Standardmodelle (also die Moderne Portfoliotheorie und ihre wichtigsten Weiterentwicklungen), sondern die ihr zugrundliegenden Annahmen. Die Standardtheorie gehe von falschen Behauptungen über Anleger und Märkte aus. Märkte verhalten sich nach Mandelbrot turbulent, sind unsicher und lassen sich nicht in die verbreiteten Standardmodelle pressen. Wir erläutern im Folgenden kurz die wichtigsten Einwände gegen die Standardtheorie.

Erstens handeln Anleger oft irrational. Standardmodelle gehen davon aus, dass Anleger rational handeln und ausschliesslich den eigenen Gewinn maximieren möchten. Mandelbrot kritisiert, dass irrationales und nicht gewinnorientiertes Verhalten nicht berücksichtigt wird, obwohl es die Preisbildung erheblich beeinflussen kann.

Zweitens sind Kursänderungen nicht normalverteilt. Die Moderne Portfoliotheorie und darauf aufbauende Theorien wie das Capital-Asset Pricing-Modell (CAPM) berufen sich auf die Normalverteilungsannahme für Wertpapierrenditen. Gemäss der Normalverteilungsannahme folgt das Risiko der Gaussschen Glockenkurve, was bedeutet, dass extreme Kursänderungen nur sehr selten vorkommen. Diese Zufälligkeit bezeichnet Mandelbrot als zu «milde» für die Erklärung von Finanzmärkten. Sie passe nicht zum turbulenten Verhalten von Märkten.

So sollten sich tägliche Indexänderungen des Dow Jones von mehr als 7 Prozent nur alle 300'000 Jahre ereignen, wenn diese normalverteilt wären. Tatsächlich aber gab es allein zwischen 1900 und 1997 mehr als 48 solche Tage.

Drittens sind Kursänderungen voneinander abhängig. Standardmodelle setzen einen vollkommenen Kapitalmarkt voraus. An einem vollkommenen Kapitalmarkt werden alle für ein Wertpapier relevanten Informationen in seinem Kurs berücksichtigt. Vergangene Kursänderungen beeinflussen künftige Kursänderungen nicht.

Laut Mandelbrot besitzen viele Kurstabellen des Finanzsektors eine Art «Gedächtnis». Eine Zeitspanne mit heftigen Kursausschlägen erhöht die Wahrscheinlichkeit heftiger Ausschläge in der folgenden Zeitspanne. Zu beachten ist, dass sich die Abhängigkeit nicht auf die Kursrichtung (steigende und fallende Kurse), sondern nur auf die Volatilität (Ausmass der Preisschwankungen) einer Reihe von Kursen bezieht.

Was ist eigentlich ein Fraktal?

Ein Fraktal ist ein Muster oder eine Form, deren Teile ein Abbild des Ganzen sind. Sie sind in der Regel in einem hohen Mass selbstähnlich, das heisst das «Kleine» widerspiegelt sich in fraktalen Strukturen im «Grossen» und umgekehrt.

Gebilde, die Fraktalen ähneln, gibt es auch in der Natur. So können Küstenlinien und Bergformationen durch Fraktale nachgebildet werden. Auch Börsenkurse können durch Fraktale erstaunlich echt simuliert werden. Ein Fraktal, welches an unterschiedlichen Stellen auf unterschiedliche Weise den Massstab ändert, bezeichnet Mandelbrot als multifraktional.

Mandelbrot entwickelte computergestützte multifraktionale Modelle für die Simulation und Prognose von Kursänderungen verschiedener Wertpapiere. Interessanterweise verhalten sich Kursdaten meist skaleninvariant, das heisst man findet die gleichen Muster vor, egal über welche Zeitspanne man einen Kurs betrachtet.

Praktische Erkenntnisse

Mandelbrot sucht in seinen Analysen nicht nach den genauen Ursachen der Kursveränderungen. Als Analogie kann ein Auto dienen: Sie müssen nicht wissen, wie ein Auto funktioniert, und können es trotzdem fahren. Auf die Märkte übertragen hiesse das: Sie müssen nicht wissen, warum sich die Märkte so verhalten, wie sie sich verhalten, und können die Kurse trotzdem erfolgreich deuten. Zum Beispiel indem Sie erkennen, dass sich die Börsenkurse oft turbulent verhalten.

Fünf der wichtigsten praktischen Erkenntnisse von Mandelbrots fraktaler Finanztheorie haben wir im Folgenden für Sie zusammengefasst:

1. Turbulenzen bestimmen den Markt

Finanzexperten raten Anlegern gewöhnlich, ihre Wertpapiere gut zu diversifizieren, nach dem Kauf lange zu halten und sich damit am Durchschnittskurs zu orientieren. Nach Mandelbrots Meinung wird diese Strategie allerdings der turbulenten Natur der Märkte nicht gerecht. Diese werden stark von einzelnen speziellen Ereignissen geprägt. Erfolgreiche Anleger erzielen ihre Gewinne oftmals nicht über langfristige Durchschnittsrenditen, sondern innerhalb kürzester Frist.

2. Kurse springen

Menschen sehen in Prozessen und Ereignissen oft Kontinuität – auch wenn keine vorhanden ist. Auch die vorherrschenden ökonomischen Modelle gehen von kontinuierlichen und «glatten» Kursübergängen aus. Bei stark springenden Kursen funktionieren sie nicht und sind deshalb falsch, so Mandelbrot.

Auf dem Markt können selbst scheinbar unbedeutende Nachrichten oder Stimmungsumschwünge zu heftigen Kursausschlägen führen. Diese Ausschläge werden durch die wachsende Flut von Nachrichten und ihre augenblickliche Übermittlung im Internet-Zeitalter noch intensiviert.

3. Börsenzeit ist relativ

Populäre Theorien wie das Capital-Asset Pricing-Modell (CAPM) gehen von einem durchschnittlichen Anleger aus und berücksichtigen nicht, dass Wertpapiere je nach Anleger ganz unterschiedlich lange gehalten werden. Im Gegensatz dazu bedienen sich Mandelbrots Modelle einer Funktion, welche die Handelszeit anders verteilt als dies in den Standardmodellen geschieht. An manchen Stellen wird die Zeit gedehnt, an anderen zusammengestaucht. Dadurch können extreme Kursanstiege und Kursstürze besser berücksichtigt werden. Je nach Zeithorizont des Anlegers variiert auch das Risiko.

4. Chartanalysen sind häufig irrelevant

Gemäss Mandelbrot sind in den meisten Kursdaten langfristige Abhängigkeiten vorhanden. Diese führen tendenziell zu Kursänderungen innerhalb einer bestimmten Grössenordnung – aber nicht zu bestimmten (nicht-fraktalen) Mustern im Kursniveau. Den Aussagen von «Chartisten» sollte man deshalb nicht zu viel Bedeutung beimessen. Auch die Auf- und Abschwung-Wellen des Kondratjew-Zyklus könnten sich ebenso rein zufällig ergeben.

5. Volatilität ist nicht nur zufällig

Gemäss Mandelbrot lassen sich Volatilität und Risiken teilweise abschätzen, auch wenn die genauen Kurse nicht prognostizierbar sind. Aus vergangenen Kursanstiegen kann man nicht auf künftige schliessen. Es gibt aber eine Tendenz, dass auf starke Kurssprünge abermalig starke Änderungen in den Kursen folgen. Volatilitätsvorhersagen sind vergleichbar mit Wetterprognosen.

Erfolgreich an der Börse dank Fraktalen?

Mandelbrots Erkenntnisse über Fraktale sind zwar auch in Expertenkreisen auf breite Resonanz gestossen. Auch gibt es bereits einige Aktienfonds, die gestützt auf die Theorien von Mandelbrot investieren.

Trotzdem befindet sich die fraktale Finanz- und Wirtschaftsanalyse noch in den Kinderschuhen. Es steht noch in den Sternen, ob mit fraktalen Finanztechniken je optimale Portfolios mit überdurchschnittlichen Renditen zusammengestellt werden können.

Immerhin lassen sich die erwähnten Volatilitätsprognosen nutzen. So sind Trader, die auf Volatilität mittels Optionen oder anderer Instrumente wetten, mit fraktalen Modellen zumindest in der Theorie besser ausgerüstet als mit Standardmodellen.

Auch sollen auf fraktalen Modellen basierende Warn-Indizes kurzfristig vor drohenden «Börsenstürmen» warnen können. Ähnlich wie in der Meteorologie nimmt aber die Aussagekraft mit zunehmender zeitlicher Distanz zum Ereignis ab.

Fazit: Mit fraktalen Modellen können Sie zwar den Markt nicht schlagen. Sie können aber im günstigen Fall Anzeichen von hoher Volatilität erkennen, auf riskante Trades verzichten und so potenziell hohe Verluste minimieren.

Weiterführende Informationen:
Online-Trading-Vergleich
Aktien richtig bewerten
Wie Aktien günstig kaufen?
Moderne Portfoliotheorie (MPT)
Single-Index-Modell (SIM)
Capital-Asset Pricing-Modell (CAPM)

Über das Moneyland-Magazin

Das Moneyland-Magazin informiert Sie kompetent über eine Vielzahl von Finanzthemen. Neben Hintergrundartikeln und Interviews mit Experten finden Sie diverse praktische Hilfestellungen, um sich im täglichen Finanzdschungel zurecht zu finden.

  • Radio 24
  • Radio 1
  • Tages-Anzeiger
  • Cash
  • SRF
  • NZZ
  • Handelszeitung
  • 20 Minuten
  • Bilanz
  • Finews